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Moments [ modifier | modifier le wikicode]
Fonction génératrice des moments [ modifier | modifier le wikicode]
Théorème
Corollaire
Le moment d'ordre d'une variable aléatoire continue suivant une loi uniforme est:. Espérance [ modifier | modifier le wikicode]
L'espérance d'une variable aléatoire continue suivant une loi uniforme est:. Variance et écart-type [ modifier | modifier le wikicode]
La variance d'une variable aléatoire continue suivant une loi uniforme est:. Pourquoi « uniforme » [ modifier | modifier le wikicode]
La notion d'uniformité vient du fait que la probabilité qu'une valeur tirée d'une loi uniforme soit dans un certain intervalle (inclus dans l'intervalle support de la densité) ne dépend pas de la position de l'intervalle, mais uniquement de sa longueur h:. D'autre part, on peut noter que n'importe quelle valeur comprise entre et est un mode pour la loi uniforme: aucune valeur de l'intervalle n'a une probabilité supérieure à une autre d'apparaître. Applications [ modifier | modifier le wikicode]
Cette loi de probabilité est fondamentale car grâce à sa simplicité, elle est facilement programmable.
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Lois à densité [Site personnel d'Olivier Leguay]
En effet, comme l'illustre le schéma suivant, $P(1 \lt X \lt 9)=1$. Remarque: il n'est pas vraiment nécessaire de calculer une aire ici car ce résultat fait partie de la définition de la densité d'une loi (l'aire sous la courbe vaut 1). La proposition 2 est VRAIE. En effet, comme l'illustre le schéma suivant, $P(5 \lt X \lt 9)=(9-5)\times \frac{1}{8}=\frac{1}{2}$. La proposition 3 est FAUSSE. En effet, comme l'illustre le schéma suivant, $P(1 \lt X \lt 3)=(3-1)\times \frac{1}{8}=\frac{1}{4}$. La proposition 4 est VRAIE. En effet, comme l'illustre le schéma suivant, $P(1 \lt X \lt 2)=(2-1)\times \frac{1}{8}=\frac{1}{8}$. Niveau facile
Dans une station de ski, le temps d'attente à un télésiège donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[1;5]$. Indiquer, en justifiant, si les propositions suivantes sont VRAIES ou FAUSSES. Proposition 1: la probabilité que le temps d'attente soit supérieur à 2 minutes est de $\frac{3}{4}$.
Ainsi, avec deux lancers de pièces, on obtient les résultats théoriques suivants:
Exemple de test
Vous pesez 15 colis. Leurs poids figurent ci-dessous. L'histogramme les regroupe par tranches de 1 kg. Sous H0, on considère que la loi est uniforme. Les résultats suivants ont été obtenus avec XLSTAT. Le test unilatéral du khi² montre que l'hypothèse d' égalité ne peut pas être rejetée (même si la figure ne ressemble pas tout à fait à un rectangle). Un découpage en 20 classes de même amplitude a été réalisé par le logiciel. À toutes fins utiles, voici le tableau de comparaison entre fréquences observées et théoriques:
Espérance de la loi continue
Pour terminer, une rapide démonstration qui constitue un exemple simple de résolution d'une intégrale généralisée. Il s'agit de trouver l'espérance de la loi uniforme grâce à la fameuse formule qui donne l'espérance de toute loi de probabilité continue. Ainsi, pour une v. a X et une fonction de densité f, nous avons:
Dans le cas de la loi uniforme, il s'agit d'une « fausse » intégrale généralisée puisque la fonction de densité est égale 1 / ( b – a) entre a et b et à zéro partout ailleurs… Par la relation de Chasles, on peut éliminer impitoyablement les infinis:
Soit…
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